与えられた広義積分を計算し、関数を微分する問題です。具体的には、以下の積分を計算し、関数を微分します。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx$ (3) $y = \cos^{-1}(2 \cos x)$ の微分 (4) $y = x \sin^{-1}x - \log \sqrt{1-x^2}$ の微分 (5) $x^2y + xy^2 - x^3 = 0$ の陰関数微分

1. 問題の内容

与えられた広義積分を計算し、関数を微分する問題です。具体的には、以下の積分を計算し、関数を微分します。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx$

(3) $y = \cos^{-1}(2 \cos x)$ の微分

(4) $y = x \sin^{-1}x - \log \sqrt{1-x^2}$ の微分

(5) $x^2y + xy^2 - x^3 = 0$ の陰関数微分

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = 1-x$ とすると、$du = -dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=0$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/3} du = \left[ \frac{3}{2} u^{2/3} \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2}(1^{2/3} - 0^{2/3}) = \frac{3}{2}$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx$ の計算

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{9(\frac{x^2}{9}+1)} dx = \frac{1}{9} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{x}{3}\right)^2+1} dx$

$u = \frac{x}{3}$ とすると、$du = \frac{1}{3} dx$ より $dx = 3du$。$x=0$ のとき $u=0$、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^2+1} 3du = \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^2+1} du = \frac{1}{3} \left[ \arctan u \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{6}$

(3) $y = \cos^{-1}(2 \cos x)$ の微分

$y' = \frac{-1}{\sqrt{1-(2\cos x)^2}} \cdot (-2 \sin x) = \frac{2\sin x}{\sqrt{1-4\cos^2 x}}$

(4) $y = x \sin^{-1}x - \log \sqrt{1-x^2}$ の微分

$y' = \sin^{-1}x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{1-x^2}$

(5) $x^2y + xy^2 - x^3 = 0$ の陰関数微分

両辺を $x$ で微分します。

$2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + x(2y\frac{dy}{dx}) - 3x^2 = 0$

$\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = 3x^2 - 2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} dx = \frac{3}{2}$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+9} dx = \frac{\pi}{6}$

(3) $y' = \frac{2\sin x}{\sqrt{1-4\cos^2 x}}$

(4) $y' = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{1-x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy}$