問題2:点(1, 3)を通る傾き $m$ の直線と、放物線 $y = x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、$S$ を最小にする $m$ の値を求めよ。 問題3:放物線 $y = -x(x-6)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を直線 $y = mx$ が2等分するとき、定数 $m$ の値を求めよ。

解析学積分面積二次関数微分
2025/7/26

1. 問題の内容

問題2:点(1, 3)を通る傾き mm の直線と、放物線 y=x2y = x^2 で囲まれた図形の面積を SS とするとき、SS を最小にする mm の値を求めよ。
問題3:放物線 y=x(x6)y = -x(x-6)xx 軸で囲まれた図形の面積を直線 y=mxy = mx が2等分するとき、定数 mm の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2:
点(1,3)を通る傾き mm の直線の方程式は、
y3=m(x1)y - 3 = m(x - 1)
y=mxm+3y = mx - m + 3
放物線 y=x2y = x^2 と直線 y=mxm+3y = mx - m + 3 の交点を求める。
x2=mxm+3x^2 = mx - m + 3
x2mx+m3=0x^2 - mx + m - 3 = 0
この2次方程式の解を α,β\alpha, \beta とすると、解と係数の関係より、
α+β=m\alpha + \beta = m
αβ=m3\alpha \beta = m - 3
囲まれた図形の面積 SS は、
S=αβ(mxm+3x2)dxS = \int_\alpha^\beta (mx - m + 3 - x^2) dx
S=αβ(x2+mxm+3)dxS = \int_\alpha^\beta (-x^2 + mx - m + 3) dx
S=αβ(x2mx+m3)dxS = - \int_\alpha^\beta (x^2 - mx + m - 3) dx
S=αβ(xα)(xβ)dxS = - \int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta) dx
S=16(βα)3S = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3
(βα)2=(α+β)24αβ=m24(m3)=m24m+12=(m2)2+8(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = m^2 - 4(m-3) = m^2 - 4m + 12 = (m-2)^2 + 8
(βα)=(m2)2+8(\beta - \alpha) = \sqrt{(m-2)^2 + 8}
S=16((m2)2+8)32S = \frac{1}{6} \left( (m-2)^2 + 8 \right)^{\frac{3}{2}}
SS を最小にするには、(m2)2(m-2)^2 が最小になれば良い。
(m2)2(m-2)^2m=2m = 2 のとき最小値0を取る。
問題3:
放物線 y=x(x6)=x2+6xy = -x(x-6) = -x^2 + 6xxx 軸で囲まれた図形の面積を求める。
y=x2+6x=0y = -x^2 + 6x = 0 となる xxx=0,6x = 0, 6
S=06(x2+6x)dx=[13x3+3x2]06=13(63)+3(62)=72+108=36S = \int_0^6 (-x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^6 = -\frac{1}{3}(6^3) + 3(6^2) = -72 + 108 = 36
直線 y=mxy = mx がこの面積を2等分するので、
0α(x2+6xmx)dx=362=18\int_0^\alpha (-x^2 + 6x - mx) dx = \frac{36}{2} = 18 を満たす α\alpha を求める。
x2+6x=mx-x^2 + 6x = mx の解を求める。
x2+(6m)x=0-x^2 + (6 - m)x = 0
x(x+6m)=0x(-x + 6 - m) = 0
x=0,x=6mx = 0, x = 6 - m
α=6m\alpha = 6 - m
06m(x2+(6m)x)dx=[13x3+6m2x2]06m=13(6m)3+12(6m)3=16(6m)3=18\int_0^{6-m} (-x^2 + (6-m)x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{6-m}{2}x^2 \right]_0^{6-m} = -\frac{1}{3}(6-m)^3 + \frac{1}{2}(6-m)^3 = \frac{1}{6}(6-m)^3 = 18
(6m)3=186=108(6-m)^3 = 18 \cdot 6 = 108
6m=1083=2743=3436 - m = \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}
m=6343m = 6 - 3\sqrt[3]{4}

3. 最終的な答え

問題2:m=2m = 2
問題3:m=6343m = 6 - 3\sqrt[3]{4}