放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ で交わっている。ただし、$\alpha < \beta$ である。この放物線と直線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ で交わっている。ただし、$\alpha < \beta$ である。この放物線と直線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = 2x + a$ を解いて、交点の $x$ 座標 $\alpha$ と $\beta$ を求める。

$x^2 - 2x - a = 0$

解の公式より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + a}$

したがって、$\alpha = 1 - \sqrt{1 + a}, \beta = 1 + \sqrt{1 + a}$ となる。ただし、$a > -1$ である必要がある。

次に、放物線と直線で囲まれた面積 $S$ を計算する。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (2x + a - x^2) dx$

$S = \left[x^2 + ax - \frac{x^3}{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$S = (\beta^2 + a\beta - \frac{\beta^3}{3}) - (\alpha^2 + a\alpha - \frac{\alpha^3}{3})$

$S = (\beta^2 - \alpha^2) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3)$

$S = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)$

$\beta - \alpha = (1 + \sqrt{1 + a}) - (1 - \sqrt{1 + a}) = 2\sqrt{1 + a}$

$\beta + \alpha = (1 + \sqrt{1 + a}) + (1 - \sqrt{1 + a}) = 2$

$\alpha\beta = (1 - \sqrt{1 + a})(1 + \sqrt{1 + a}) = 1 - (1 + a) = -a$

$\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2 = (\beta + \alpha)^2 - \alpha\beta = 2^2 - (-a) = 4 + a$

$S = (2\sqrt{1 + a})(2) + a(2\sqrt{1 + a}) - \frac{1}{3}(2\sqrt{1 + a})(4 + a)$

$S = 4\sqrt{1 + a} + 2a\sqrt{1 + a} - \frac{2}{3}(4 + a)\sqrt{1 + a}$

$S = \sqrt{1 + a}\left(4 + 2a - \frac{8}{3} - \frac{2}{3}a\right)$

$S = \sqrt{1 + a}\left(\frac{12 - 8}{3} + \frac{6 - 2}{3}a\right)$

$S = \sqrt{1 + a}\left(\frac{4}{3} + \frac{4}{3}a\right) = \frac{4}{3}(1 + a)\sqrt{1 + a} = \frac{4}{3}(1 + a)^{3/2}$

問題文より、$S = \frac{9}{2}$ なので、

$\frac{4}{3}(1 + a)^{3/2} = \frac{9}{2}$

$(1 + a)^{3/2} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$

$1 + a = (\frac{27}{8})^{2/3} = (\frac{3^3}{2^3})^{2/3} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$a = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{4}$