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関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求める問題です。

解析学関数合成関数代数
2025/7/26

1. 問題の内容

関数 f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x} について、合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) は f(f(x))f(f(x)) を意味します。
まず、f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x} なので、f(f(x))f(f(x)) を計算します。
f(x)f(x) の xx の代わりに f(x)f(x) を代入します。
f(f(x))=f(x−1x)=x−1x−1x−1xf(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}
分子を計算します。
x−1x−1=x−1x−xx=x−1−xx=−1x\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}
したがって、
f(f(x))=−1xx−1xf(f(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}
分母と分子に xx をかけて簡略化します。
f(f(x))=−1x−1f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}

3. 最終的な答え

f(f(x))=−1x−1f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}

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