与えられた級数 $\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{n}{3n-1} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{n}{3n-1} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

2. 解き方の手順

この級数の第 $n$ 項を $a_n$ とすると、

$a_n = \frac{n}{3n - 1}$

この級数の収束・発散を調べるために、まず $\lim_{n \to \infty} a_n$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{3} \neq 0$ であるため、この級数は発散します。

これは、級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束するための必要条件である $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を満たさないからです。

3. 最終的な答え

この級数は発散します。