与えられた三角関数の値を求める問題です。具体的には、$\sin$, $\cos$, $\tan$ のそれぞれについて、いくつかの角度における値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求める問題です。具体的には、$\sin$, $\cos$, $\tan$ のそれぞれについて、いくつかの角度における値を計算します。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 与えられた角度がどの象限にあるかを確認します。

2. 基準となる角度（例えば、$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$）を用いて、三角関数の値を計算します。

3. 象限に応じて符号を決定します。

4. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて、$\tan$ の値を計算します。

(1)

* $\sin \frac{5\pi}{6}$: $\frac{5\pi}{6}$ は第2象限にあり、$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

* $\cos \frac{5\pi}{6}$: $\frac{5\pi}{6}$ は第2象限にあり、$\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan \frac{5\pi}{6}$: $\tan \frac{5\pi}{6} = \frac{\sin \frac{5\pi}{6}}{\cos \frac{5\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2)

* $\sin \frac{4\pi}{3}$: $\frac{4\pi}{3}$ は第3象限にあり、$\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos \frac{4\pi}{3}$: $\frac{4\pi}{3}$ は第3象限にあり、$\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

* $\tan \frac{4\pi}{3}$: $\tan \frac{4\pi}{3} = \frac{\sin \frac{4\pi}{3}}{\cos \frac{4\pi}{3}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

(3)

* $\sin \frac{7\pi}{4}$: $\frac{7\pi}{4}$ は第4象限にあり、$\sin \frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos \frac{7\pi}{4}$: $\frac{7\pi}{4}$ は第4象限にあり、$\cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\tan \frac{7\pi}{4}$: $\tan \frac{7\pi}{4} = \frac{\sin \frac{7\pi}{4}}{\cos \frac{7\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

(4)

* $\sin (-\frac{\pi}{4})$: $-\frac{\pi}{4}$ は第4象限にあり、$\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos (-\frac{\pi}{4})$: $-\frac{\pi}{4}$ は第4象限にあり、$\cos (-\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\tan (-\frac{\pi}{4})$: $\tan (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin (-\frac{\pi}{4})}{\cos (-\frac{\pi}{4})} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

(5)

* $\sin (-\frac{2\pi}{3})$: $-\frac{2\pi}{3}$ は第3象限にあり、$\sin (-\frac{2\pi}{3}) = -\sin \frac{2\pi}{3} = -\sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos (-\frac{2\pi}{3})$: $-\frac{2\pi}{3}$ は第3象限にあり、$\cos (-\frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

* $\tan (-\frac{2\pi}{3})$: $\tan (-\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sin (-\frac{2\pi}{3})}{\cos (-\frac{2\pi}{3})} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\tan \frac{4\pi}{3} = \sqrt{3}$

(3) $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan \frac{7\pi}{4} = -1$

(4) $\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan (-\frac{\pi}{4}) = -1$

(5) $\sin (-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos (-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, $\tan (-\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3}$