与えられた積分の問題を解きます。 $\int \log(x^2+1) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

$\int \log(x^2+1) dx$

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。

$u = \log(x^2 + 1)$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、 $du = \frac{2x}{x^2+1} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

$= x \log(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx$

$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$

したがって、

$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx = \int \left( 2 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx = 2x - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = 2x - 2 \arctan(x) + C$

よって、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - (2x - 2 \arctan(x)) + C$

$= x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$