関数 $f(x) = x\sqrt{1-x}$ の区間 $[-1, 1]$ における導関数 $f'(x)$ が与えられており、$f'(x) = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$ となっています。この情報を用いて、おそらく増減表を作成したり、最大値・最小値を求めたりする問題の準備段階であると思われます。与えられた導関数が正しいことを確認し、必要であれば、与えられた区間における関数の増減を調べるために導関数を利用することを考えます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sqrt{1-x}$ の区間 $[-1, 1]$ における導関数 $f'(x)$ が与えられており、$f'(x) = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$ となっています。この情報を用いて、おそらく増減表を作成したり、最大値・最小値を求めたりする問題の準備段階であると思われます。与えられた導関数が正しいことを確認し、必要であれば、与えられた区間における関数の増減を調べるために導関数を利用することを考えます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を微分して、$f'(x)$が与えられた式と一致するか確認します。

$f(x) = x(1-x)^{1/2}$なので、積の微分法を用いると

$$f'(x) = (x)'(1-x)^{1/2} + x((1-x)^{1/2})'$$

$$f'(x) = (1)(1-x)^{1/2} + x(\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}(-1))$$

$$f'(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}}$$

$$f'(x) = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}}$$

$$f'(x) = \frac{2 - 2x - x}{2\sqrt{1-x}}$$

$$f'(x) = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}$$

与えられた導関数と一致することが確認できました。

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$