関数 $y = x + \sqrt{2-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sqrt{2-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を求めます。根号の中身が0以上である必要があるため、$2-x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 2$。したがって、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$です。

次に、与えられた関数を微分して、増減を調べます。

$y' = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 = \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\sqrt{2-x^2} = x$

$2-x^2 = x^2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

ここで、$\sqrt{2-x^2} = x$ の条件より、$x$ は正である必要があるため、$x=1$のみが解となります。

次に、$y'$ の符号を調べます。

$-\sqrt{2} < x < 1$ のとき、$x < \sqrt{2-x^2}$ なので $y' > 0$

$1 < x < \sqrt{2}$ のとき、$x > \sqrt{2-x^2}$ なので $y' < 0$

したがって、$x=1$ で極大となります。また、区間の端点 $x = -\sqrt{2}$ および $x = \sqrt{2}$ での値を調べます。

$x=-\sqrt{2}$ のとき、$y = -\sqrt{2} + \sqrt{2-(-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2-2} = -\sqrt{2}$

$x=1$ のとき、$y = 1 + \sqrt{2-1^2} = 1 + \sqrt{1} = 2$

$x=\sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2} + \sqrt{2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{2}$

したがって、最大値は $2$ ($x=1$ のとき)、最小値は $-\sqrt{2}$ ($x=-\sqrt{2}$ のとき)です。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：$-\sqrt{2}$