与えられた極限が存在するように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - ax - 6}{x - 2}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - 1}{2x^2 + x - 3}$ (3) $\lim_{x \to -3} \frac{5x^2 + 16x + a}{3x^2 + 8x - 3}$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{a - x} - 1}{2 - x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた極限が存在するように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - ax - 6}{x - 2}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - 1}{2x^2 + x - 3}$

(3) $\lim_{x \to -3} \frac{5x^2 + 16x + a}{3x^2 + 8x - 3}$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{a - x} - 1}{2 - x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - ax - 6}{x - 2}$

極限が存在するためには、 $x = 2$ を代入したときに分子が0になる必要があります。

$2^2 - 2a - 6 = 0$

$4 - 2a - 6 = 0$

$-2a = 2$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - 1}{2x^2 + x - 3}$

極限が存在するためには、 $x = 1$ を代入したときに分子が0になる必要があります。

$a(1)^2 - 1 = 0$

$a - 1 = 0$

$a = 1$

$a = 1$ のとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{2x^2 + x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(2x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{2x + 3} = \frac{1 + 1}{2(1) + 3} = \frac{2}{5}$

(3) $\lim_{x \to -3} \frac{5x^2 + 16x + a}{3x^2 + 8x - 3}$

極限が存在するためには、 $x = -3$ を代入したときに分子が0になる必要があります。

$5(-3)^2 + 16(-3) + a = 0$

$5(9) - 48 + a = 0$

$45 - 48 + a = 0$

$-3 + a = 0$

$a = 3$

$a = 3$ のとき、

$\lim_{x \to -3} \frac{5x^2 + 16x + 3}{3x^2 + 8x - 3} = \lim_{x \to -3} \frac{(5x + 1)(x + 3)}{(3x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{5x + 1}{3x - 1} = \frac{5(-3) + 1}{3(-3) - 1} = \frac{-15 + 1}{-9 - 1} = \frac{-14}{-10} = \frac{7}{5}$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{a - x} - 1}{2 - x}$

極限が存在するためには、 $x = 2$ を代入したときに分子が0になる必要があります。

$\sqrt{a - 2} - 1 = 0$

$\sqrt{a - 2} = 1$

$a - 2 = 1$

$a = 3$

$a = 3$ のとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3 - x} - 1}{2 - x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3 - x} - 1)(\sqrt{3 - x} + 1)}{(2 - x)(\sqrt{3 - x} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{3 - x - 1}{(2 - x)(\sqrt{3 - x} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{(2 - x)(\sqrt{3 - x} + 1)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{3 - x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3 - 2} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, 極限値 = $5$

(2) $a = 1$, 極限値 = $\frac{2}{5}$

(3) $a = 3$, 極限値 = $\frac{7}{5}$

(4) $a = 3$, 極限値 = $\frac{1}{2}$