画像に記載されている問題は、線積分と面積分に関する練習問題です。具体的には以下の問題が含まれます。 * 摩擦係数が与えられたときの線積分の計算 * ある曲線に沿った線積分の計算 * 3次元空間における線積分の計算 * 重積分の積分順序の変更と計算 * 領域が不等式で与えられたときの重積分の計算 ここでは、3番の問題を解きます。点$P(0,0,2)$と点$Q(1,2,3)$を結ぶ経路$C$について、次の線積分を求めます。 $\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds$

1. 問題の内容

画像に記載されている問題は、線積分と面積分に関する練習問題です。具体的には以下の問題が含まれます。

* 摩擦係数が与えられたときの線積分の計算

* ある曲線に沿った線積分の計算

* 3次元空間における線積分の計算

* 重積分の積分順序の変更と計算

* 領域が不等式で与えられたときの重積分の計算

ここでは、3番の問題を解きます。点$P(0,0,2)$と点$Q(1,2,3)$を結ぶ経路$C$について、次の線積分を求めます。

$\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds$

2. 解き方の手順

まず、$P$と$Q$を結ぶ経路$C$を直線と仮定します。

$P(0,0,2)$, $Q(1,2,3)$なので、$C$上の点はパラメータ$t$を用いて以下のように表せます。

$x = t$

$y = 2t$

$z = 2+t$

ここで、$0 \leq t \leq 1$です。

次に、$ds$を$dt$で表します。

$dx/dt = 1$

$dy/dt = 2$

$dz/dt = 1$

よって、

$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt = \sqrt{1^2+2^2+1^2} dt = \sqrt{6} dt$

したがって、求める積分は

$\int_C (\frac{2x}{y}+z) ds = \int_0^1 (\frac{2t}{2t} + 2+t) \sqrt{6} dt = \sqrt{6} \int_0^1 (1 + 2 + t) dt = \sqrt{6} \int_0^1 (3+t) dt$

$= \sqrt{6} [3t + \frac{1}{2}t^2]_0^1 = \sqrt{6} (3+\frac{1}{2}) = \frac{7\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{6}}{2}$