三角方程式 $\sin \frac{2\pi}{5} = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

三角方程式 $\sin \frac{2\pi}{5} = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係 $\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$ を利用します。

与えられた方程式は

$\sin \frac{2\pi}{5} = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$

なので、

$\cos (\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$

$\cos (\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$

$\cos (\frac{\pi}{10}) = \cos (2x + \frac{2\pi}{5})$

$\cos A = \cos B$ ならば、$A = \pm B + 2n\pi$（$n$ は整数）であるので、

$2x + \frac{2\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{10} + 2n\pi$

まず、$2x + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi}{10} + 2n\pi$ の場合を考えます。

$2x = \frac{\pi}{10} - \frac{2\pi}{5} + 2n\pi = \frac{\pi - 4\pi}{10} + 2n\pi = -\frac{3\pi}{10} + 2n\pi$

$x = -\frac{3\pi}{20} + n\pi$

次に、$2x + \frac{2\pi}{5} = -\frac{\pi}{10} + 2n\pi$ の場合を考えます。

$2x = -\frac{\pi}{10} - \frac{2\pi}{5} + 2n\pi = \frac{-\pi - 4\pi}{10} + 2n\pi = -\frac{5\pi}{10} + 2n\pi = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$

$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で解を求めます。

$x = -\frac{3\pi}{20} + n\pi$ について:

$n = 1$ のとき、$x = -\frac{3\pi}{20} + \pi = \frac{17\pi}{20}$

$n = 2$ のとき、$x = -\frac{3\pi}{20} + 2\pi = \frac{37\pi}{20}$

$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ について:

$n = 1$ のとき、$x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$

$n = 2$ のとき、$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{17\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$