定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算し、$\frac{\text{ム} - \text{メ} \log \text{モ}}{\text{ヤ}}$ の形で答える。

## (4)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算し、$\frac{\text{ム} - \text{メ} \log \text{モ}}{\text{ヤ}}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算する。

$u = x$, $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$ となる。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = [x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$= \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 0 \tan 0 - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$= \frac{\pi}{4} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx$

ここで、$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{-\sin x}{\cos x} dx = - \log |\cos x| + C$ である。

したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - [-\log |\cos x|]_0^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{\pi}{4} + \log |\cos \frac{\pi}{4}| - \log |\cos 0|$

$= \frac{\pi}{4} + \log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1$

$= \frac{\pi}{4} + \log 2^{-\frac{1}{2}} - 0$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

$\text{ム} = \pi$, $\text{メ} = 1$, $\text{モ} = 2$, $\text{ヤ} = 4$

$\frac{\pi - \log 2}{4}$

## (5)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{6}{1-x^3} dx$ を計算し、$\log \text{ユ} + \frac{\text{ヨ}}{\sqrt{\text{ラ}}}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

$\frac{6}{1-x^3}$ を部分分数分解する。

$\frac{6}{1-x^3} = \frac{6}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{A}{1-x} + \frac{Bx+C}{1+x+x^2}$ とおく。

$6 = A(1+x+x^2) + (Bx+C)(1-x)$

$6 = A + Ax + Ax^2 + Bx - Bx^2 + C - Cx$

$6 = (A-B)x^2 + (A+B-C)x + (A+C)$

係数比較より、

$A-B=0$

$A+B-C = 0$

$A+C = 6$

$A=B$, $2A-C=0$, $A+C=6$

$3A = 6 \implies A=2$

$B=2$, $C=4$

$\frac{6}{1-x^3} = \frac{2}{1-x} + \frac{2x+4}{1+x+x^2}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{6}{1-x^3} dx = \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2}{1-x} dx + \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2x+4}{1+x+x^2} dx$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2}{1-x} dx = [-2\log|1-x|]_{-\frac{1}{2}}^0 = -2\log 1 + 2\log \frac{3}{2} = 2\log \frac{3}{2}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2x+4}{1+x+x^2} dx = \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2x+1}{1+x+x^2} dx + \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{3}{1+x+x^2} dx$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{2x+1}{1+x+x^2} dx = [\log|1+x+x^2|]_{-\frac{1}{2}}^0 = \log 1 - \log(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}) = -\log \frac{3}{4} = \log \frac{4}{3}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{3}{1+x+x^2} dx = \int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{3}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} [\arctan \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}]_{-\frac{1}{2}}^0 = 2\sqrt{3} (\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan 0) = 2\sqrt{3} (\frac{\pi}{6} - 0) = \frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

$\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{6}{1-x^3} dx = 2\log \frac{3}{2} + \log \frac{4}{3} + \frac{\pi \sqrt{3}}{3} = \log \frac{9}{4} + \log \frac{4}{3} + \frac{\pi \sqrt{3}}{3} = \log 3 + \frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\text{ユ} = 3$, $\text{ヨ} = \pi$, $\text{ラ} = 3$

$\log 3 + \frac{\pi}{\sqrt{3}}$