次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \log(5x - 1)$ (4) $y = \log_4 4x$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \log(5x - 1)$

(4) $y = \log_4 4x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(5x - 1)$ の微分

$\log$ は自然対数（底が $e$）とみなします。

合成関数の微分を行います。

$u = 5x - 1$ とおくと、$y = \log u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 5$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 5 = \frac{5}{5x - 1}$

(4) $y = \log_4 4x$ の微分

底の変換公式を使って、自然対数に変換します。

$\log_4 4x = \frac{\log 4x}{\log 4}$

$y = \frac{\log 4x}{\log 4}$ を微分します。$\log 4$は定数です。

$u = 4x$ とおくと、$y = \frac{\log u}{\log 4}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 4} \cdot \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 4} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x \log 4}$

$4 = 2^2$なので $\log 4 = 2 \log 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cdot 2 \log 2} = \frac{1}{2x \log 2}$

あるいは、$y = \log_4 4x = \log_4 4 + \log_4 x = 1 + \log_4 x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log_4 x = \frac{d}{dx} \frac{\log x}{\log 4} = \frac{1}{x \log 4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{5x - 1}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log 4}$

または $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x \log 2}$