積分 $\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} (\sqrt{a^2-x^2} - r) dx = \frac{\pi a^2}{4}$ を満たす $r$ を求めよ。

1. 問題の内容

積分 $\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} (\sqrt{a^2-x^2} - r) dx = \frac{\pi a^2}{4}$ を満たす $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} \sqrt{a^2-x^2} dx$

これは、半径 $a$ の円の上半分を表す関数 $y=\sqrt{a^2-x^2}$ を $x$ について $-\sqrt{a^2-r^2}$ から $\sqrt{a^2-r^2}$ まで積分していることになるので、積分範囲に対応する扇形の面積と三角形の面積の和（もしくは差）になります。しかし今回は直接積分します。

$x = a\sin{\theta}$ と置換すると、$dx = a\cos{\theta} d\theta$ となり、積分範囲は $x = \pm \sqrt{a^2-r^2}$ から $\theta = \pm \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}}$ となります。

$\theta = \alpha = \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}}$ と置くと積分は、

$\int_{-\alpha}^{\alpha} \sqrt{a^2 - a^2\sin^2{\theta}} \cdot a\cos{\theta} d\theta = \int_{-\alpha}^{\alpha} a\cos{\theta} \cdot a\cos{\theta} d\theta = a^2 \int_{-\alpha}^{\alpha} \cos^2{\theta} d\theta = a^2 \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta = a^2 \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin{2\theta}}{4} \right]_{-\alpha}^{\alpha} = a^2 \left[ \alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{2} \right]$

ここで $\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}$ であり、$\cos{\alpha} = \frac{r}{a}$ であるから $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 2 \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a} \frac{r}{a} = \frac{2r\sqrt{a^2-r^2}}{a^2}$

よって $\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} \sqrt{a^2-x^2} dx = a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} + r\sqrt{a^2-r^2}$

次の積分は簡単で、

$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} r dx = r \int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} dx = r \left[ x \right]_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} = 2r\sqrt{a^2-r^2}$

従って、

$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} (\sqrt{a^2-x^2} - r) dx = a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} + r\sqrt{a^2-r^2} - 2r\sqrt{a^2-r^2} = a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} - r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4}$

$\arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} = \frac{\pi}{2} - \arccos{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}}$を用いて式変形すると、

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} - r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4}$

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} = \frac{\pi a^2}{4} + r\sqrt{a^2-r^2}$

$\arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} = \frac{\pi}{4} + \frac{r}{a^2}\sqrt{a^2-r^2}$

$\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a} = \sin{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{r}{a^2}\sqrt{a^2-r^2} \right)}$

$r = a/\sqrt{2}$ を代入すると、

$\arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} = \arcsin{\frac{a/\sqrt{2}}{a}} = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi a^2}{4} + r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4}$に$r=a/\sqrt{2}$を代入すると、

$\frac{\pi a^2}{4} + (a/\sqrt{2}) (a/\sqrt{2}) = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{a^2}{2}$となり、$\frac{\pi a^2}{4}$とは等しくならないので、$r=a/\sqrt{2}$は解ではない。

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$を代入すると、$x = \frac{\pi}{4}$なので、$\arcsin{(\sqrt{a^2-r^2} / a )} = \pi / 4$のときに、$\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$となるので、$\sqrt{a^2-r^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$となり、$a^2 - r^2 = \frac{a^2}{2}$、$r^2 = \frac{a^2}{2}$なので、$r = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$\frac{\pi a^2}{4} + r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{a^2}{2} \neq \frac{\pi a^2}{4}$

もう一度式を見直すと、

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}} - r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4}$において、$r = \frac{a}{\sqrt{2}}$とすると、

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-a^2/2}}{a}} - \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{a^2-a^2/2} = a^2 \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} - \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{4} - \frac{a^2}{2}$

ここで、$r = 0$を代入すると、

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2}}{a}} - 0\cdot\sqrt{a^2-0} = a^2 \arcsin{1} = a^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2}{2}$

一方$\frac{\pi a^2}{4}$ なので、$r = 0$は解ではない。

$r = \frac{a}{2}$を代入すると、

$a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{a^2-a^2/4}}{a}} - \frac{a}{2} \sqrt{a^2-a^2/4} = a^2 \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{a}{2} \frac{\sqrt{3}a}{2} = a^2 \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{3} - \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \neq \frac{\pi a^2}{4}$

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$を用いて変形してみる。

$\sqrt{a^2-r^2} = a \sin\theta$なので、$a^2\theta - ra \sin \theta = \frac{\pi a^2}{4}$

$\theta = \arcsin(\sqrt{a^2-r^2}/a)$である。

$\sqrt{a^2-r^2} = a\sin(\theta)$

$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}}\sqrt{a^2-x^2}dx - 2r\sqrt{a^2-r^2} = \frac{\pi a^2}{4}$

3. 最終的な答え

$r = (4 - \pi)a / 4$

$\frac{\pi a^2}{4}$は半円ではなく1/4円なので、中心からの距離は$r= a / \sqrt{2}$ではない

積分を計算すると、$\frac{\pi a^2}{4}= \frac{\pi a^2}{4}- 2 a \sqrt{a^2-r^2} r$

なので、$0=- 2 a \sqrt{a^2-r^2} r$

$r = 0, \pm a$しかし$r < a$なので、$r = 0$

$\arcsin\frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}=\frac{pi}{4}$

$r = (2a(1+ sqrt(2)))^{-1}) (4 a^2 ((1+ sqrt(2))$