問題は、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$ と $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx$ の積分を計算することです。ただし、例題4.2に書かれている公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$ を利用します。ここで、$n!!$ は二重階乗を表し、$n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$ であり、$0!! = 1$ と定義されます。

1. 問題の内容

問題は、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$ と $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx$ の積分を計算することです。ただし、例題4.2に書かれている公式

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$

を利用します。ここで、$n!!$ は二重階乗を表し、$n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$ であり、$0!! = 1$ と定義されます。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$ を計算します。$n=5$ は奇数なので、公式の奇数の場合を使います。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{(5-1)!!}{5!!} = \frac{4!!}{5!!}$

$4!! = 4 \cdot 2 = 8$

$5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{8}{15}$

次に、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx$ を計算します。$n=6$ は偶数なので、公式の偶数の場合を使います。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx = \frac{(6-1)!!}{6!!} \frac{\pi}{2} = \frac{5!!}{6!!} \frac{\pi}{2}$

$5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$

$6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx = \frac{15}{48} \frac{\pi}{2} = \frac{5}{16} \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{8}{15}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 x dx = \frac{5\pi}{32}$