関数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ について、以下の問題を解く。 (1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。 (2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。 (3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求める。

1. 問題の内容

関数

$f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

について、以下の問題を解く。

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3(0) - 3h(0)^3}{h^2 + 0^2} + h(0)^3 = 0$

$f(0, 0) = c = 0$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2(0)^3k - 3(0)k^3}{0^2 + k^2} + 0(k)^3 = 0$

$f(0, 0) = c = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3(0) - 3h(0)^3}{h^2 + 0^2} + h(0)^3 = 0$

$f(0, 0) = c = 1$

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h}$

この極限は存在しない。したがって、$f_x(0, 0)$ は存在しない。

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2(0)^3k - 3(0)k^3}{0^2 + k^2} + 0(k)^3 = 0$

$f(0, 0) = c = 1$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 1}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{-1}{k}$

この極限は存在しない。したがって、$f_y(0, 0)$ は存在しない。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求める。

$f_{xy}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial y} f_x(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k}$

$f_x(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} + y^3 + xy^2(3) = \frac{(6x^4y + 6x^2y^3 - 3x^2y^3 - 3y^5 - 4x^4y + 6x^2y^3)}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

$f_x(x, y) = \frac{2x^4y + 9x^2y^3 - 3y^5}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_x(0, y) = \frac{-3y^5}{y^4} = -3y$

$f_x(0, k) = -3k$

$f_x(0, 0) = 0$ （(1)の結果より）

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{-3k - 0}{k} = -3$

$f_{yx}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial x} f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h}$

$f_y(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_y(x, y) = \frac{2x^5 + 2x^3y^2 - 9x^3y^2 - 9xy^4 - 4x^3y^2 + 6xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_y(x, y) = \frac{2x^5 - 11x^3y^2 - 3xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3x y^2$

$f_y(x, 0) = \frac{2x^5}{x^4} = 2x$

$f_y(h, 0) = 2h$

$f_y(0, 0) = 0$ （(1)の結果より）

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0)$ は存在しない

(3) $f_{xy}(0, 0) = -3$, $f_{yx}(0, 0) = 2$