問題は定積分 $\int_a^b f(x) dx$ の定義を述べることです。

1. 問題の内容

問題は定積分 $\int_a^b f(x) dx$ の定義を述べることです。

2. 解き方の手順

定積分の定義は、リーマン和の極限として与えられます。区間$[a, b]$ を $n$ 個の小区間に分割し、各小区間の幅を $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ とします。各小区間から代表点 $x_i$ を選び、リーマン和を計算します。$n$ を無限大に近づけたときのリーマン和の極限が定積分となります。

より具体的に説明します。

(1) 区間$[a, b]$ を $n$ 等分します。分割点を $x_0 = a, x_1, x_2, ..., x_n = b$ とすると、$x_i = a + i\Delta x$ となります。ここで、$\Delta x = \frac{b-a}{n}$ です。

(2) 各小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ から代表点 $\xi_i$ を選びます (例えば、$\xi_i$ を $x_{i-1}$ または $x_i$ とすることができます)。

(3) リーマン和 $S_n$ を次のように定義します。

$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$

(4) $n \to \infty$ のとき、$S_n$ がある値 $S$ に収束するならば、その値 $S$ を $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい、次のように表します。

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分 $\int_a^b f(x) dx$ は、区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、各小区間から代表点 $\xi_i$ を選んだときのリーマン和 $S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$ の $n \to \infty$ における極限として定義される。すなわち、

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$