$\int_{0}^{1} x^3 dx$ を区分求積法の定義にしたがって求める。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} x^3 dx$ を区分求積法の定義にしたがって求める。

2. 解き方の手順

区分求積法の定義に従い、積分区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、その分割点を $x_k = \frac{k}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n$) とする。

小区間 $[x_{k-1}, x_k]$ において、関数 $f(x) = x^3$ の値として $x_k$ を採用すると、区分求積法による近似は次のようになる。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) (x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^3 (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ であるから、

$S_n = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{1}{n^2} \to 0$ となるので、

$\int_{0}^{1} x^3 dx = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$