$\int x \log x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int x \log x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算する。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ である。

ここでは、$u = \log x$、$dv = x \, dx$ とおく。

すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$、$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ となる。

したがって、

$\int x \log x \, dx = \int \log x \cdot x \, dx$

$= \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$