与えられた不定積分を計算します。 $\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x = a\sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = a\cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = \sqrt{a^2(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a\cos\theta$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{a^2\sin^2\theta}{a\cos\theta} a\cos\theta d\theta = \int a^2\sin^2\theta d\theta$

ここで、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$\int a^2\sin^2\theta d\theta = a^2 \int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$= \frac{a^2}{2} (\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)) + C = \frac{a^2}{2} (\theta - \sin\theta\cos\theta) + C$

ここで、$\theta = \arcsin(\frac{x}{a})$ なので、$\sin\theta = \frac{x}{a}$ となります。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ となります。

よって、

$\frac{a^2}{2} (\theta - \sin\theta\cos\theta) + C = \frac{a^2}{2} (\arcsin(\frac{x}{a}) - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}) + C$

$= \frac{a^2}{2} \arcsin(\frac{x}{a}) - \frac{x\sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2}{2} \arcsin(\frac{x}{a}) - \frac{x\sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$