画像には3つの問題が含まれています。 * 問題2：べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径を求めよ。 * 問題3：$\frac{1}{1-x}$ をべき級数で表し、そのべき級数を項別微分して $\frac{1}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開を求めよ。 * 問題4：問題3の結果を利用して、$x$ に $-x^2$ を代入することで $\frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開を求め、さらに項別積分して $\tan^{-1}x$ のべき級数展開を求めよ。

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像には3つの問題が含まれています。

* 問題2：べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径を求めよ。

* 問題3：$\frac{1}{1-x}$ をべき級数で表し、そのべき級数を項別微分して $\frac{1}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開を求めよ。

* 問題4：問題3の結果を利用して、$x$ に $-x^2$ を代入することで $\frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開を求め、さらに項別積分して $\tan^{-1}x$ のべき級数展開を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問題2：

* 与えられたべき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ であることから、$|x| < R$ で収束する。

* 求めるべき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x^2)^n$ を考えると、これは $x^2$ についてのべき級数と見なせる。

* したがって、$|x^2| < R$ が収束条件となる。

* $|x^2| < R$ は $x^2 < R$ と同値であり、$|x| < \sqrt{R}$ となる。

* よって、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径は $\sqrt{R}$ である。

* 問題3：

* $\frac{1}{1-x}$ は公比 $x$ の等比数列の和であるから、

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$ が成り立つ。

* このべき級数を項別微分すると、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}$

$\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$

* したがって、$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots$ である。

* 問題4：

* 問題3の結果 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ において、$x$ を $-x^2$ に置き換えると、

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$

* このべき級数を項別積分すると、

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + C$

$\int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} + C = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots +C$

* $\tan^{-1} 0 = 0$ より、$C = 0$ である。

* したがって、$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ である。

3. 最終的な答え

* 問題2：$\sqrt{R}$

* 問題3：$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots$

* 問題4：$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$