問題2：べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径を求めなさい。 問題3：$\frac{1}{1-x}$をべき級数で表すと $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots$ となる（等比数列の無限和）。このべき級数を項別微分して、$\frac{1}{(1-x)^2}$のマクローリン展開を求めなさい。

1. 問題の内容

問題2：べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径を求めなさい。

問題3：$\frac{1}{1-x}$をべき級数で表すと $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots$ となる（等比数列の無限和）。このべき級数を項別微分して、$\frac{1}{(1-x)^2}$のマクローリン展開を求めなさい。

2. 解き方の手順

問題2：

与えられたべき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径が $R$ であるとき、収束半径 $R$ は

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}$$

で与えられます。新しい級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ を考えます。これは $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x^2)^n$ と書けるので、元の級数の $x$ を $x^2$ に置き換えたものです。

$y = x^2$ とおくと、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n$ となり、この級数の収束半径は $R$ です。したがって、 $|y| < R$ であれば収束し、 $|y| > R$ であれば発散します。

$y = x^2$ より、$|x^2| < R$、つまり $|x|^2 < R$ であるとき収束します。

したがって、 $|x| < \sqrt{R}$ のとき収束し、$|x| > \sqrt{R}$ のとき発散するので、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ の収束半径は $\sqrt{R}$ です。

問題3：

$\frac{1}{1-x}$ をべき級数で表すと、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ です。

このべき級数を項別微分すると、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

左辺は、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}$$

右辺は、項別微分により、

$$\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$$

（定数項の微分は0になるため、$n=1$ からの和になります。）

したがって、

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$$

ここで、$m = n-1$ とおくと、$n = m+1$ であり、和は $m=0$ から始まります。

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+1) x^m = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n$$

展開すると、

$$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$$

3. 最終的な答え

問題2：$\sqrt{R}$

問題3：$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$