問題は、与えられた数列 $a_n$ に対して、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べることです。 今回は、問題番号 (8) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ について解答します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列 $a_n$ に対して、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べることです。

今回は、問題番号 (8) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ について解答します。

2. 解き方の手順

与えられた数列 $a_n$ に対して、根判定法を用います。

根判定法とは、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$ が存在するとき、

* $L < 1$ ならば、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は絶対収束する。

* $L > 1$ ならば、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。

* $L = 1$ ならば、判定不能。

今回は、$a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ なので、

$\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{(\frac{n}{n+1})^{n^2}} = (\frac{n}{n+1})^{n} = (\frac{n+1}{n})^{-n} = (1 + \frac{1}{n})^{-n}$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n} = \frac{1}{e}$

$e \approx 2.718 > 1$ より、$\frac{1}{e} < 1$ である。

したがって、根判定法より、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ は収束する。

3. 最終的な答え

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ は収束する。