与えられた関数の導関数を求める問題です。 (1) $x^{\sin x}$ ($x > 0$) (2) $\log(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。

(1) $x^{\sin x}$ ($x > 0$)

(2) $\log(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\sin x}$ の導関数を求めます。

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log(x^{\sin x}) = \sin x \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \sin x \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

$y = x^{\sin x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

(2) $y = \log(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})$ の導関数を求めます。

$y = \log(u)$ とおくと、$u = \sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}} (\frac{1}{2\sqrt{x-2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-3}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})} (\frac{1}{\sqrt{x-2}} + \frac{1}{\sqrt{x-3}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})} (\frac{\sqrt{x-3} + \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{x-3}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$