関数 $y = xe^{-x}$ について、以下の極限を求めよ。 (1) $\lim_{x \to \infty} y$ (2) $\lim_{x \to -\infty} y$

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-x}$ について、以下の極限を求めよ。

(1) $\lim_{x \to \infty} y$

(2) $\lim_{x \to -\infty} y$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} xe^{-x}$ について

$x \to \infty$ のとき、$x \to \infty$ であり、$e^{-x} \to 0$ である。

したがって、不定形 $\infty \cdot 0$ となる。

この不定形を解消するために、$x = \frac{x}{1}$ と考えて、$\frac{\infty}{\infty}$ の形に変形する。

$xe^{-x} = \frac{x}{e^{x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}x}{\frac{d}{dx}e^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}} = 0$

(2) $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x}$ について

$x \to -\infty$ のとき、$x \to -\infty$ であり、$e^{-x} \to \infty$ である。

したがって、$-\infty \cdot \infty$ の形となる。

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{x}}$

ここで、$x = -t$ と置換すると、$x \to -\infty$ のとき、$t \to \infty$ となる。

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = \lim_{t \to \infty} (-t)e^{t} = -\lim_{t \to \infty} te^{t} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$

(2) $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty$