曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) に接し、原点を通る直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) に接し、原点を通る直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、求める直線の式を $y = kx$ とおきます。

次に、曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ と直線 $y = kx$ が接する点の $x$ 座標を $t$ とおきます。このとき、以下の2つの条件が成り立ちます。

(1) 点 $(t, kt)$ が曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ 上にある。

(2) $x = t$ における曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ の接線の傾きが $k$ である。

条件(1)より、

$kt = \frac{\log t}{t}$

$k = \frac{\log t}{t^2}$ ...(1)

条件(2)より、$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\log x}{x} \right)$ を計算します。

商の微分法より、

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$x = t$ における接線の傾きが $k$ であるから、

$k = \frac{1 - \log t}{t^2}$ ...(2)

(1)と(2)より、

$\frac{\log t}{t^2} = \frac{1 - \log t}{t^2}$

$\log t = 1 - \log t$

$2 \log t = 1$

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

これを(1)に代入すると、

$k = \frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{1}{2e} x$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2e} x$