$f(x)=x^2$ としたとき、以下の関数の導関数 $y'$ を求める問題です。 (1) $y = \sin^2 x$ (2) $y = 2^x$ (3) $y = e^x$

1. 問題の内容

$f(x)=x^2$ としたとき、以下の関数の導関数 $y'$ を求める問題です。

(1) $y = \sin^2 x$

(2) $y = 2^x$

(3) $y = e^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2 x$ の導関数を求める。

合成関数の微分法を使う。$y = u^2$, $u = \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$y' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

(2) $y = 2^x$ の導関数を求める。

$y = a^x$ の導関数は $y' = a^x \ln a$ であることを利用する。

したがって、

$y' = 2^x \ln 2$

(3) $y = e^x$ の導関数を求める。

$y = e^x$ の導関数は $y' = e^x$ である。

したがって、

$y' = e^x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \sin 2x$

(2) $y' = 2^x \ln 2$

(3) $y' = e^x$