与えられた積分問題を解きます。ここでは、(2) $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ と (3) $\int \tan^n x \, dx$ (nは自然数)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。ここでは、(2) $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ と (3) $\int \tan^n x \, dx$ (nは自然数)を解きます。

2. 解き方の手順

(2) $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$

まず、$t = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ と置換します。

$t^2 = \frac{x-1}{x+1}$

$t^2(x+1) = x-1$

$t^2x + t^2 = x-1$

$x(1-t^2) = t^2+1$

$x = \frac{t^2+1}{1-t^2}$

$dx = \frac{2t(1-t^2) - (t^2+1)(-2t)}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t-2t^3 + 2t^3+2t}{(1-t^2)^2} dt = \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt$

積分は

$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \int \frac{1-t^2}{t^2+1} \cdot t \cdot \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{4t^2}{(t^2+1)(1-t^2)} dt$

部分分数分解をすると、

$\frac{4t^2}{(t^2+1)(1-t^2)} = \frac{A}{t^2+1} + \frac{B}{1-t}$ + $\frac{C}{1+t}$

$4t^2 = A(1-t^2) + B(1+t)(1+t^2) + C(1-t)(1+t^2)$

$t = 1$, $4 = 4B$, $B = 1$

$t = -1$, $4 = 4C$, $C=1$

$t = 0$, $0 = A + B + C$, $A = -2$

$\frac{4t^2}{(t^2+1)(1-t^2)} = -\frac{2}{t^2+1} + \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t}$

$\int (-\frac{2}{t^2+1} + \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t}) dt = -2\arctan t - \ln|1-t| + \ln|1+t| + C$

$= -2\arctan t + \ln|\frac{1+t}{1-t}| + C$

$\frac{1+t}{1-t} = \frac{1+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{1-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} = \frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}{2} = \frac{x+1+x-1+2\sqrt{x^2-1}}{2} = x+\sqrt{x^2-1}$

したがって、積分は

$-2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |x+\sqrt{x^2-1}| + C$

(3) $\int \tan^n x \, dx$

$I_n = \int \tan^n x \, dx = \int \tan^{n-2} x \tan^2 x \, dx = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx = \int \tan^{n-2} x d(\tan x) - I_{n-2} = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - I_{n-2} + C$

$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$

3. 最終的な答え

(2) $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = -2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + \ln |x+\sqrt{x^2-1}| + C$

(3) $\int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx + C = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$