与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$ (2) $\int \frac{x-1}{x^2 + x + 3} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$

(2) $\int \frac{x-1}{x^2 + x + 3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$

分母を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$

$\frac{x+1}{2x^2 - x - 1} = \frac{x+1}{(2x+1)(x-1)}$

部分分数分解をします。

$\frac{x+1}{(2x+1)(x-1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-1}$

$x+1 = A(x-1) + B(2x+1)$

$x+1 = (A+2B)x + (-A+B)$

係数を比較して連立方程式を解きます。

$A+2B = 1$

$-A+B = 1$

2つの式を足し合わせると

$3B = 2$

$B = \frac{2}{3}$

$A = B - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

$\frac{x+1}{(2x+1)(x-1)} = -\frac{1}{3} \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3} \frac{1}{x-1}$

積分を計算します。

$\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx = \int \left( -\frac{1}{3} \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3} \frac{1}{x-1} \right) dx$

$= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{2x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} dx$

$= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \ln |2x+1| + \frac{2}{3} \ln |x-1| + C$

$= -\frac{1}{6} \ln |2x+1| + \frac{2}{3} \ln |x-1| + C$

(2) $\int \frac{x-1}{x^2 + x + 3} dx$

$x^2 + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

$x-1 = \frac{1}{2}(2x+1) - \frac{3}{2}$

$\int \frac{x-1}{x^2 + x + 3} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{3}{2}}{x^2 + x + 3} dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2 + x + 3} dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 + x + 3} dx$

$= \frac{1}{2} \ln |x^2 + x + 3| - \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}} dx$

$\int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}} dx = \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{4}}} \arctan \frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{11}{4}}} + C$

$= \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{11}} + C$

$= \frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 3) - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{11}} + C$

$= \frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 3) - \frac{3}{\sqrt{11}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{11}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{6} \ln |2x+1| + \frac{2}{3} \ln |x-1| + C$

(2) $\frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 3) - \frac{3}{\sqrt{11}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{11}} + C$