$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ を計算せよ。

はい、承知いたしました。問題の2番を解きます。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ と置換します。すると、$t^2 = \frac{x-1}{x+1}$ となり、$x$ について解くと、

$x = \frac{1+t^2}{1-t^2}$

次に、$dx$ を $dt$ で表します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{(1-t^2)(2t) - (1+t^2)(-2t)}{(1-t^2)^2} = \frac{2t - 2t^3 + 2t + 2t^3}{(1-t^2)^2} = \frac{4t}{(1-t^2)^2}$

よって、

$dx = \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \int \frac{1-t^2}{1+t^2} t \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{4t^2}{1-t^4} dt$

ここで、$\frac{4t^2}{1-t^4} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1-t^2} + \frac{D}{1+t^2}$ と部分分数分解します。計算を避けて、式変形を行います。

$\frac{4t^2}{1-t^4} = \frac{2}{1-t^2} - \frac{2}{1+t^2}$

よって積分は

$\int \frac{2}{1-t^2} - \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} - \frac{2}{1+t^2} dt = \log|1+t| - \log|1-t| - 2\arctan t + C = \log|\frac{1+t}{1-t}| - 2\arctan t + C$

$t$ を元に戻すと、

$\log|\frac{1+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{1-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

整理すると、

$\log|\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

$\log|\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}{2}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

$\log|\frac{x+1+2\sqrt{x^2-1}+x-1}{2}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

$\log|x+\sqrt{x^2-1}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C'$

3. 最終的な答え

$\log|x+\sqrt{x^2-1}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$

または $\log|\frac{1+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{1-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}| - 2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + C$