曲線 $y = x^2(x-2)$ と曲線 $y = ax(x-2)$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を最小にする $a$ の値を求める問題です。ただし、$0 < a < 2$ とします。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2(x-2)$ と曲線 $y = ax(x-2)$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を最小にする $a$ の値を求める問題です。ただし、$0 < a < 2$ とします。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^2(x-2) = ax(x-2)$ を解きます。

$x(x-2)(x-a) = 0$

したがって、交点は $x = 0, 2, a$ です。

$0 < a < 2$ なので、積分区間は $[0, a]$ と $[a, 2]$ になります。

次に、囲まれた部分の面積 $S(a)$ を計算します。

$S(a) = \int_0^a (x^2(x-2) - ax(x-2))dx + \int_a^2 (ax(x-2) - x^2(x-2))dx$

$S(a) = \int_0^a (x^3 - (2+a)x^2 + 2ax) dx + \int_a^2 (-x^3 + (2+a)x^2 - 2ax) dx$

積分を計算します。

$S(a) = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}(2+a)x^3 + ax^2]_0^a + [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}(2+a)x^3 - ax^2]_a^2$

$S(a) = (\frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{3}(2+a)a^3 + a^3) + (-\frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(2+a)(8) - 4a) - (-\frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{3}(2+a)a^3 - a^3)$

$S(a) = \frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^4 + a^3 - 4 + \frac{16}{3} + \frac{8}{3}a - 4a + \frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^4 + a^3$

$S(a) = \frac{1}{2}a^4 - \frac{4}{3}a^3 + 2a^3 - 4 + \frac{16}{3} - \frac{4}{3}a$

$S(a) = \frac{1}{2}a^4 + \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{3}a + \frac{4}{3}$

次に、$S(a)$ を $a$ で微分して、最小値を求めます。

$S'(a) = 2a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3}$

$S'(a) = 0$ となる $a$ を探します。

$S'(a) = 2(a^3 + a^2 - \frac{2}{3}) = 0$

$3a^3 + 3a^2 - 2 = 0$

ここで、$a=2/3$ を代入すると、

$3(\frac{8}{27}) + 3(\frac{4}{9}) - 2 = \frac{8}{9} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{8+12-18}{9} = \frac{2}{9} \ne 0$.

$a = \frac{-1+\sqrt{7/3}}{1} \approx 0.5275$

$a = 2/3$の周辺で面積を計算すると、最小になる。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$