与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の8つの関数を微分します。 (1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ (2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$ (3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$ (4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$ (5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ (6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}}$ (7) $y = (3x - 2)^4$ (8) $s = \sqrt[3]{3t - 4}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の8つの関数を微分します。

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

(5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}}$

(7) $y = (3x - 2)^4$

(8) $s = \sqrt[3]{3t - 4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$

多項式の微分なので、各項を微分して足し合わせます。

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2} = \frac{1}{2}t^2 - t + 1$

これも多項式の微分です。

$\frac{ds}{dt} = t - 1$

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x^2 + 3$, $v = 2x - 1$ とおくと、$u' = 2x$, $v' = 2$ です。

$\frac{dy}{dx} = 2x(2x - 1) + (x^2 + 3)2 = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6 = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

まず、$\frac{2}{t^3} = 2t^{-3}$ の微分は $-6t^{-4} = -\frac{6}{t^4}$ です。

次に、$\frac{2t - 1}{t + 1}$ は商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = 2t - 1$, $v = t + 1$ とおくと、$u' = 2$, $v' = 1$ です。

$(\frac{2t - 1}{t + 1})' = \frac{2(t + 1) - (2t - 1)1}{(t + 1)^2} = \frac{2t + 2 - 2t + 1}{(t + 1)^2} = \frac{3}{(t + 1)^2}$

したがって、$\frac{ds}{dt} = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 2x^{1/2} - 2x^{-1/2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} + x^{-1/2} + x^{-3/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{3/2}} = t^{-3/2}$

$\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^{-5/2} = -\frac{3}{2t^{5/2}} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y = (3x - 2)^4$

合成関数の微分を使います。$u = 3x - 2$ とおくと、$y = u^4$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

(8) $s = \sqrt[3]{3t - 4} = (3t - 4)^{1/3}$

合成関数の微分を使います。$u = 3t - 4$ とおくと、$s = u^{1/3}$ です。

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du}\frac{du}{dt} = \frac{1}{3}u^{-2/3} \cdot 3 = (3t - 4)^{-2/3} = \frac{1}{(3t - 4)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $\frac{ds}{dt} = t - 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $\frac{ds}{dt} = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(6) $\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $\frac{dy}{dx} = 12(3x - 2)^3$

(8) $\frac{ds}{dt} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$