$k$ を正の定数とし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。方程式 $2\cos^2 x - \frac{k}{\sin^2 x} = 0$ の解の個数を求める問題。

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。方程式 $2\cos^2 x - \frac{k}{\sin^2 x} = 0$ の解の個数を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式の両辺に $\sin^2 x$ を掛けて変形する。

$2 \cos^2 x \sin^2 x - k = 0$

$\frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = k$

$\frac{1}{2} \sin^2 2x = k$

$\sin^2 2x = 2k$

よって、アには $2$ が入る。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < 2x < \pi$ である。

$y = \sin^2 2x$ のグラフを $0 < 2x < \pi$ の範囲で考える。

$y = \sin^2 2x$ の最大値は $1$ である。

$k > \frac{1}{2}$ のとき、$\sin^2 2x = 2k$ は解を持たない。

したがって、イには $\frac{1}{2}$ が入り、エには $0$ が入る。

$0 < k < \frac{1}{2}$ のとき、$0 < 2k < 1$ となり、$\sin^2 2x = 2k$ を満たす $2x$ が2つ存在する。

$2x = \alpha$ または $2x = \pi - \alpha$ となる。

よって、$x = \frac{\alpha}{2}$ または $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$ となり、どちらも $0 < x < \frac{\pi}{2}$ を満たすので、$x$ は2つ存在する。

したがって、ウには $\frac{1}{2}$ が入り、オには $2$ が入る。

$k = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin^2 2x = 1$ となり、$\sin 2x = \pm 1$。

$0 < 2x < \pi$ より、$2x = \frac{\pi}{2}$。

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ となり、解は1つ。

したがって、ウには $\frac{1}{2}$ が入り、カには $1$ が入る。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：1/2

ウ：1/2

エ：0

オ：2

カ：1