定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{x^2-4}{x^2+4} dx$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題の中から、(1) $\int_{-2}^{2} \frac{x^2-4}{x^2+4} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{x^2-4}{x^2+4} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$$\frac{x^2-4}{x^2+4} = \frac{x^2+4-8}{x^2+4} = 1 - \frac{8}{x^2+4}$$

したがって、積分は

$$\int_{-2}^{2} \frac{x^2-4}{x^2+4} dx = \int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{8}{x^2+4}\right) dx = \int_{-2}^{2} 1 dx - 8 \int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx$$

ここで、$\int_{-2}^{2} 1 dx = [x]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4$ です。

また、$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ を利用します。今回は$a=2$なので、

$$\int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx = \left[\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{-2}^{2} = \frac{1}{2} \arctan(1) - \frac{1}{2} \arctan(-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$$

よって、

$$\int_{-2}^{2} \frac{x^2-4}{x^2+4} dx = 4 - 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - 2\pi$$

3. 最終的な答え

$4 - 2\pi$