与えられた三角関数のグラフと式に基づいて、空欄「エ」、「オ」、「カ」に当てはまるものを選択する問題です。具体的には、グラフから読み取れる値($a$の値)、三角関数の合成に関する係数の組み合わせ、および合成後の関数の式を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた三角関数のグラフと式に基づいて、空欄「エ」、「オ」、「カ」に当てはまるものを選択する問題です。具体的には、グラフから読み取れる値($a$の値)、三角関数の合成に関する係数の組み合わせ、および合成後の関数の式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず「エ」を求めるために、グラフから$a$の値を読み取ります。グラフを見ると、$x=0$のとき、$y$軸との交点である$a$の値はおよそ2.8程度であることがわかります。選択肢はありませんが、関数 $y=2\sin x + 2\cos x$において、$x=0$を代入すると、$y=2$となります。さらに、この関数の最大値を求めると、合成により$y=2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$となることがわかります。したがって、$a$は$2\sqrt{2}$となります。

次に「オ」を求めるために、三角関数の合成を行います。

$y = 2\sin x + 2\cos x = b\sin(x+c)$の形に変形します。

$b = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos c = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin c = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$c = \frac{\pi}{4}$です。

よって、$b=2\sqrt{2}$, $c=\frac{\pi}{4}$となる選択肢を探すと、選択肢の中に存在しないので、問題文から合成後の式を考えるのではなく、$a$が$2\sqrt{2}$であることを使うと、関数は$y = 2\sin x + 2\cos x = 2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$となります。

次に、関数 $y = -2\sin x - 2\cos x$を合成して「カ」を求めます。

$y = -2\sin x - 2\cos x = -2(\sin x + \cos x)$

$y = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4} + \pi)$

$y = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

選択肢から、これが当てはまるものを探すと①となります。

3. 最終的な答え

エ: $2\sqrt{2}$

オ: 選択肢なし

カ: ① $-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$