関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

この関数は分数関数なので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。ここで、$u = 2x^2 - x$、$v = x^3 + 1$ と置くと、

$u' = \frac{d}{dx}(2x^2 - x) = 4x - 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2$

となります。

これらを商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(4x - 1)(x^3 + 1) - (2x^2 - x)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - (6x^4 - 3x^3)}{(x^3 + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - 6x^4 + 3x^3}{(x^3 + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$