関数 $y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

ここで、$u = x^3 - 2x + 1$、$v = x^2 + x + 1$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx} (x^3 - 2x + 1) = 3x^2 - 2$

$v' = \frac{d}{dx} (x^2 + x + 1) = 2x + 1$

となる。

したがって、

\begin{align*}

\frac{dy}{dx} &= \frac{(3x^2 - 2)(x^2 + x + 1) - (x^3 - 2x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} \\

&= \frac{(3x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 2x - 2) - (2x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} \\

&= \frac{3x^4 + 3x^3 + x^2 - 2x - 2 - (2x^4 + x^3 - 4x^2 + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} \\

&= \frac{x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 2x - 3}{(x^2 + x + 1)^2}

\end{align*}

分子を因数分解することを試みる。$x^3-2x+1$を$x^2+x+1$で割ると、$x-1$になる。つまり、$x^3-2x+1 = (x^2+x+1)(x-1)$. したがって、$y = \frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x^2+x+1} = x-1$。したがって$y'=1$。

改めて、以下のように計算する。

\begin{align*}

u &= x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2+x+1)\\

v &= x^2+x+1

\end{align*}

したがって$y = \frac{u}{v} = x-1$, if $x^2+x+1 \ne 0$.

$\frac{dy}{dx} = 1$.

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 1$