曲線Cに沿った線積分 $\int_C (x^2 - yz + z^2) ds$ を求める問題です。 (1) Cは点 A(1,2,0) から点 B(1,2,3) までの線分である場合。 (2) Cは点 O(0,0,0) から点 B(1,2,3) までの線分である場合。

1. 問題の内容

曲線Cに沿った線積分 $\int_C (x^2 - yz + z^2) ds$ を求める問題です。

(1) Cは点 A(1,2,0) から点 B(1,2,3) までの線分である場合。

(2) Cは点 O(0,0,0) から点 B(1,2,3) までの線分である場合。

2. 解き方の手順

(1) A(1,2,0) から B(1,2,3) までの線分の場合:

Cは、$x=1$, $y=2$, $z=s$ ($0 \le s \le 3$) とパラメータ表示されています。したがって、$ds = \sqrt{(\frac{dx}{ds})^2 + (\frac{dy}{ds})^2 + (\frac{dz}{ds})^2} ds = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} ds = ds$ となります。

したがって、積分は

$\int_C (x^2 - yz + z^2) ds = \int_0^3 (1^2 - 2s + s^2) ds = \int_0^3 (1 - 2s + s^2) ds$

となります。

$\int_0^3 (1 - 2s + s^2) ds = [s - s^2 + \frac{s^3}{3}]_0^3 = (3 - 3^2 + \frac{3^3}{3}) - (0 - 0^2 + \frac{0^3}{3}) = 3 - 9 + 9 = 3$

(2) O(0,0,0) から B(1,2,3) までの線分の場合:

O(0,0,0) から B(1,2,3) までの線分は、$x=t, y=2t, z=3t$ ($0 \le t \le 1$) とパラメータ表示できます。

$\frac{dx}{dt}=1$, $\frac{dy}{dt}=2$, $\frac{dz}{dt}=3$ であるから、$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} dt = \sqrt{1+4+9} dt = \sqrt{14} dt$ となります。

したがって、積分は

$\int_C (x^2 - yz + z^2) ds = \int_0^1 (t^2 - (2t)(3t) + (3t)^2) \sqrt{14} dt = \int_0^1 (t^2 - 6t^2 + 9t^2) \sqrt{14} dt = \int_0^1 4t^2 \sqrt{14} dt$

$\int_0^1 4t^2 \sqrt{14} dt = 4\sqrt{14} \int_0^1 t^2 dt = 4\sqrt{14} [\frac{t^3}{3}]_0^1 = 4\sqrt{14} (\frac{1}{3} - 0) = \frac{4\sqrt{14}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) の答え: 3

(2) の答え: $\frac{4\sqrt{14}}{3}$