関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。$y = u^2$ とおくと、$u = \sin(3x + \frac{\pi}{5})$である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx}$ は、さらに合成関数の微分法を用いる。$v = 3x + \frac{\pi}{5}$ とおくと、$u = \sin v$である。

$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ を計算する。

$\frac{du}{dv} = \cos v = \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \cos(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot 3 = 3 \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3 \cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 2 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot 3 \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dy}{dx} = 6 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

ここで、三角関数の2倍角の公式 $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 3 \sin (2(3x + \frac{\pi}{5}))$

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin (6x + \frac{2\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin \left(6x + \frac{2\pi}{5}\right)$