関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用います。

ここで、$u = \sin x$、$v = \cos 2x$ とおきます。

まず、$u$ を微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

次に、$v$ を微分します。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x$

積の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)(\cos 2x) + (\sin x)(-2\sin 2x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$

倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いて、式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos 2x - 4\sin^2 x)$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x - 4\sin^2 x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos^2 x - 5\sin^2 x)$

さらに、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos^2 x - 5(1 - \cos^2 x))$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos^2 x - 5 + 5\cos^2 x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (6\cos^2 x - 5)$

$\frac{dy}{dx} = 6\cos^3 x - 5\cos x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 6\cos^3 x - 5\cos x$

または

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$

または

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos^2 x - 5\sin^2 x)$

または

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos 2x - 4\sin^2 x)$

または

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$