関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = (\sin x \cos x)^{-1}$ と書き換えます。

次に、積の公式を用いて、$\sin x \cos x$ を変形します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin 2x$

したがって、$y = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 (\sin 2x)^{-1}$ となります。

次に、合成関数の微分法を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-1) (\sin 2x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (\sin 2x)$

$= -2 (\sin 2x)^{-2} \cdot \cos 2x \cdot 2$

$= -4 \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x}$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であるから、$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -4 \frac{\cos 2x}{4 \sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$= - \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$

$= \sec^2 x - \csc^2 x$

別の方法として、$y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ を直接微分する方法もあります。

$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{(\sin x \cos x)^2} \cdot (\cos x \cos x + \sin x (-\sin x))$

$= - \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$= - \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$

$= \sec^2 x - \csc^2 x$

さらに、$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x$ を使うと、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{2 \cos^2 x - 1}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{2 \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{2}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{2}{\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x - \csc^2 x$

または

$\frac{dy}{dx} = -4 \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x}$