## 問題の内容

## 問題の内容

$0 < a < 1$ を満たす定数 $a$ がある。関数 $f(x) = (x-a)(x-1)$ のグラフを $C$ とする。$C$ 上の点 $(1, 0)$ における $C$ の接線を $l$ とする。$C$ の $0 \leq x \leq a$ の部分と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とし、$C$ と $l$ および直線 $x=a$ で囲まれた図形の面積を $T$ とする。

(1) $f'(1)$ を $a$ を用いて表せ。また、$l$ の方程式を $a$ を用いて表せ。

(2) $S$ を $a$ を用いて表せ。また、$T$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $a$ が $0 < a < 1$ の範囲で変化するとき、$S+T$ の最小値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

## 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を展開し、$f'(x)$ を求める。その後、$f'(1)$ を計算する。

$f(x) = (x-a)(x-1) = x^2 - (a+1)x + a$

$f'(x) = 2x - (a+1)$

$f'(1) = 2 - (a+1) = 1 - a$

次に、点 $(1, 0)$ における接線 $l$ の方程式を求める。接線の傾きは $f'(1) = 1-a$ である。よって、$l$ の方程式は、

$y - 0 = (1-a)(x-1)$

$y = (1-a)x - (1-a)$

$y = (1-a)x + a - 1$

(2) $S$ を求める。$S$ は、$0 \leq x \leq a$ における $f(x)$ の定積分（絶対値）である。$0 \leq x \leq a$ において $f(x) \leq 0$ であるから、

$S = -\int_0^a f(x) dx = -\int_0^a (x^2 - (a+1)x + a) dx$

$S = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(a+1)x^2 + ax \right]_0^a$

$S = -\left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}(a+1)a^2 + a^2 \right)$

$S = -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}a^2 - a^2$

$S = \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2$

次に、$T$ を求める。$T$ は、$f(x)$ と $l$ で囲まれた領域の $a \leq x \leq 1$ の部分と、直線 $x=a$ で囲まれた領域の面積である。

$g(x) = (1-a)x + a - 1$とおくと

$T = \int_a^1 (g(x) - f(x)) dx$

$T = \int_a^1 ((1-a)x + a - 1 - (x^2 - (a+1)x + a)) dx$

$T = \int_a^1 (-x^2 + 2ax) dx$

$T = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + ax^2 \right]_a^1$

$T = -\frac{1}{3} + a - \left( -\frac{1}{3}a^3 + a^3 \right)$

$T = -\frac{1}{3} + a + \frac{1}{3}a^3 - a^3 = -\frac{2}{3}a^3 + a - \frac{1}{3}$

(3) $S+T$ の最小値を求める。

$S + T = (\frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2) + (-\frac{2}{3}a^3 + a - \frac{1}{3})$

$S + T = -\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a - \frac{1}{3}$

$h(a) = -\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a - \frac{1}{3}$とおく

$h'(a) = -\frac{3}{2}a^2 - a + 1 = -\frac{1}{2}(3a^2 + 2a - 2)$

$h'(a) = 0$ を解くと、$3a^2 + 2a - 2 = 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-2)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$

$0 < a < 1$ であるから、 $a = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$

$a = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$ のとき、$S+T$ は最小値を取る。

$S+T = -\frac{1}{2}(\frac{-1 + \sqrt{7}}{3})^3 - \frac{1}{2}(\frac{-1 + \sqrt{7}}{3})^2 + (\frac{-1 + \sqrt{7}}{3}) - \frac{1}{3}$

この時$h(a)$の具体的な値は重要ではない。重要なのは最小値を取る$a$の値である。

## 最終的な答え

(1) $f'(1) = 1-a$, $l: y = (1-a)x + a - 1$

(2) $S = \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2$, $T = -\frac{2}{3}a^3 + a - \frac{1}{3}$

(3) $S+T$ の最小値を取る $a$ の値は $a = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$