(1) 関数 $f(x) = \tan^{-1}\frac{x^2}{2} - \tan^{-1}(x-1) + \tan^{-1}(x+1)$ について、 i) $f(0)$ を求め、 ii) $f'(x)$ を求め、 iii) i), ii) の結果を使って $f(x)$ を簡単な式で表す。 (2) 不定積分 $I = \int \frac{4x}{x^4+4} dx$ について、 i) $x^2 = t$ と置いて $I$ を求め、 ii) 部分分数分解して $I$ を求め、 iii) i), ii) の $I$ の違いを (1) iii) の結果を利用して説明する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \tan^{-1}\frac{x^2}{2} - \tan^{-1}(x-1) + \tan^{-1}(x+1)$ について、

i) $f(0)$ を求め、

ii) $f'(x)$ を求め、

iii) i), ii) の結果を使って $f(x)$ を簡単な式で表す。

(2) 不定積分 $I = \int \frac{4x}{x^4+4} dx$ について、

i) $x^2 = t$ と置いて $I$ を求め、

ii) 部分分数分解して $I$ を求め、

iii) i), ii) の $I$ の違いを (1) iii) の結果を利用して説明する。

2. 解き方の手順

(1)

i) $f(0)$ を求める。

$f(0) = \tan^{-1}\frac{0^2}{2} - \tan^{-1}(0-1) + \tan^{-1}(0+1) = \tan^{-1}(0) - \tan^{-1}(-1) + \tan^{-1}(1) = 0 - (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

ii) $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{1}{1+(\frac{x^2}{2})^2} \cdot \frac{2x}{2} - \frac{1}{1+(x-1)^2} + \frac{1}{1+(x+1)^2} = \frac{x}{1+\frac{x^4}{4}} - \frac{1}{1+x^2-2x+1} + \frac{1}{1+x^2+2x+1} = \frac{4x}{4+x^4} - \frac{1}{x^2-2x+2} + \frac{1}{x^2+2x+2}$.

$f'(x) = \frac{4x}{4+x^4} - \frac{(x^2+2x+2)-(x^2-2x+2)}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)} = \frac{4x}{4+x^4} - \frac{4x}{(x^2+2)^2 - (2x)^2} = \frac{4x}{4+x^4} - \frac{4x}{x^4+4x^2+4-4x^2} = \frac{4x}{4+x^4} - \frac{4x}{x^4+4} = 0$.

iii) $f(x)$ を簡単な式で表す。

$f'(x) = 0$ より、$f(x)$ は定数関数である。

i) より、$f(0) = \frac{\pi}{2}$ であるから、$f(x) = \frac{\pi}{2}$.

(2)

i) $x^2 = t$ と置いて $I$ を求める。

$2x dx = dt$ より、$4x dx = 2dt$.

$I = \int \frac{4x}{x^4+4} dx = \int \frac{2}{t^2+4} dt = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{t}{2}) + C = \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$.

ii) 部分分数分解して $I$ を求める。

$x^4+4 = x^4+4x^2+4-4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$.

$\frac{4x}{x^4+4} = \frac{A x + B}{x^2+2x+2} + \frac{C x + D}{x^2-2x+2}$.

$4x = (Ax+B)(x^2-2x+2) + (Cx+D)(x^2+2x+2)$.

$4x = Ax^3-2Ax^2+2Ax+Bx^2-2Bx+2B + Cx^3+2Cx^2+2Cx+Dx^2+2Dx+2D$.

$4x = (A+C)x^3 + (-2A+B+2C+D)x^2 + (2A-2B+2C+2D)x + (2B+2D)$.

$A+C=0, -2A+B+2C+D=0, 2A-2B+2C+2D=4, 2B+2D=0$.

$C = -A, D = -B, 2A-2B-2A-2B=4, -4B=4, B = -1$.

$D = 1, -2A-1-2A+1=0, -4A=0, A = 0$.

$C = 0$.

$\frac{4x}{x^4+4} = \frac{-1}{x^2+2x+2} + \frac{1}{x^2-2x+2} = \frac{1}{x^2-2x+2} - \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{1}{(x-1)^2+1} - \frac{1}{(x+1)^2+1}$.

$I = \int (\frac{1}{(x-1)^2+1} - \frac{1}{(x+1)^2+1}) dx = \tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1) + C$.

iii) i), ii) の $I$ の違いを (1) iii) の結果を利用して説明する。

i) の結果は $I = \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$、ii) の結果は $I = \tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1) + C$ である。

(1) より、$\tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) = \tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1) + \frac{\pi}{2}$ であるから、

$\tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) - (\tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1)) = \frac{\pi}{2}$.

不定積分は積分定数 $C$ の自由度を持つため、これらの結果は定数項の差を除いて一致する。

3. 最終的な答え

(1) i) $f(0) = \frac{\pi}{2}$

ii) $f'(x) = 0$

iii) $f(x) = \frac{\pi}{2}$

(2) i) $I = \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$

ii) $I = \tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1) + C$

iii) (1) の結果より、$I$ の2つの表現は定数項の差を除いて一致する。具体的には $\tan^{-1}\frac{x^2}{2} - (\tan^{-1}(x-1) - \tan^{-1}(x+1)) = \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。