次の不定積分を求める問題です。 (1) $\int (x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)^2 dx$ (2) $\int x^2 e^{x^3+2} dx$ (3) $\int \sin^2 x \cos x dx$ (4) $\int \frac{x}{1+x^4} dx$ (5) $\int x \sqrt{x-1} dx$ (6) $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int (x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)^2 dx$

(2) $\int x^2 e^{x^3+2} dx$

(3) $\int \sin^2 x \cos x dx$

(4) $\int \frac{x}{1+x^4} dx$

(5) $\int x \sqrt{x-1} dx$

(6) $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = x^2+x+1$ と置換すると、$du = (2x+1)dx = 2(x+\frac{1}{2})dx$ となる。

したがって、$\frac{1}{2}du = (x+\frac{1}{2})dx$ となる。

$\int (x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)^2 dx = \int u^2 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^2 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^3 + C = \frac{1}{6} u^3 + C = \frac{1}{6} (x^2+x+1)^3 + C$

(2)

$u = x^3+2$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となる。

したがって、$\frac{1}{3}du = x^2 dx$ となる。

$\int x^2 e^{x^3+2} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3+2} + C$

(3)

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となる。

$\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{1}{3} u^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(4)

$t = x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となる。

したがって、$\frac{1}{2} dt = x dx$ となる。

$\int \frac{x}{1+x^4} dx = \int \frac{1}{1+t^2} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \arctan t + C = \frac{1}{2} \arctan (x^2) + C$

(5)

$t = x-1$ と置換すると、$x = t+1$、$dx = dt$ となる。

$\int x \sqrt{x-1} dx = \int (t+1) \sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} + t^{1/2}) dt = \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$

$= \frac{2}{5} (x-1)^2 \sqrt{x-1} + \frac{2}{3} (x-1) \sqrt{x-1} + C = \frac{2}{15}(x-1)^{3/2}(3(x-1) + 5) + C = \frac{2}{15}(x-1)^{3/2}(3x+2) + C$

(6)

$t = x^3$ と置換すると、$dt = 3x^2 dx$ となる。

したがって、$\frac{1}{3} dt = x^2 dx$ となる。

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{3} \arcsin t + C = \frac{1}{3} \arcsin (x^3) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}(x^2+x+1)^3 + C$

(2) $\frac{1}{3} e^{x^3+2} + C$

(3) $\frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(4) $\frac{1}{2} \arctan(x^2) + C$

(5) $\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C = \frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2} + C$

(6) $\frac{1}{3} \arcsin(x^3) + C$