xy平面において、曲線 $C: y=x^2$ と直線 $l: y=ax$ (aは正の整数)が与えられている。 (1) $l$と平行な、$C$の接線$m$の方程式を$a$を用いて表す。 (2) 原点Oと$m$の距離を$a$を用いて表す。 (3) $l$と$C$の交点のうち原点O以外のものをPとする。線分OPを1辺とする四角形OPQRが長方形になるように、$m$上に2点Q, Rをとる。この長方形の面積が2となるときの$a$の値を求める。

1. 問題の内容

xy平面において、曲線 $C: y=x^2$ と直線 $l: y=ax$ (aは正の整数)が与えられている。

(1) $l$と平行な、$C$の接線$m$の方程式を$a$を用いて表す。

(2) 原点Oと$m$の距離を$a$を用いて表す。

(3) $l$と$C$の交点のうち原点O以外のものをPとする。線分OPを1辺とする四角形OPQRが長方形になるように、$m$上に2点Q, Rをとる。この長方形の面積が2となるときの$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$l$と平行な$C$の接線$m$の傾きは$a$である。

$y=x^2$ を微分すると $y'=2x$となる。

$2x=a$ より、接点のx座標は $x=\frac{a}{2}$。

接点のy座標は $y=(\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$。

よって、接点の座標は $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$。

接線$m$の方程式は

$y - \frac{a^2}{4} = a(x - \frac{a}{2})$

$y = ax - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4}$

$y = ax - \frac{a^2}{4}$

(2)

原点と直線$ax - y - \frac{a^2}{4} = 0$の距離は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|a(0) - (0) - \frac{a^2}{4}|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{a^2}{4\sqrt{a^2+1}}$

(3)

$y=x^2$ と $y=ax$ の交点を求める。

$x^2 = ax$

$x^2 - ax = 0$

$x(x-a) = 0$

$x=0, a$

O以外の交点Pの座標は $(a, a^2)$

OPの傾きは $\frac{a^2}{a} = a$

OPの長さは $\sqrt{a^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^2 + a^4} = a\sqrt{1+a^2}$

OPを1辺とする長方形OPQRにおいて、OPとQRは平行であり、OPとOQは垂直である。

OPの傾きが $a$ であるから、OQの傾きは $-\frac{1}{a}$。

また、$m$の傾きは$a$であるから、QRは$m$上にある。

長方形の面積は2であるから

$OP \times OQ = 2$

$OQ = \frac{2}{OP} = \frac{2}{a\sqrt{1+a^2}}$

Qは$y = ax - \frac{a^2}{4}$上にある。

$y = -\frac{1}{a}x$ 上にある。

$ax - \frac{a^2}{4} = -\frac{1}{a}x$

$a^2x - \frac{a^3}{4} = -x$

$(a^2+1)x = \frac{a^3}{4}$

$x = \frac{a^3}{4(a^2+1)}$

$y = -\frac{1}{a}x = -\frac{a^2}{4(a^2+1)}$

$OQ = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{a^3}{4(a^2+1)})^2 + (-\frac{a^2}{4(a^2+1)})^2} = \sqrt{\frac{a^6+a^4}{16(a^2+1)^2}} = \sqrt{\frac{a^4(a^2+1)}{16(a^2+1)^2}} = \frac{a^2}{4\sqrt{a^2+1}}$

$\frac{a^2}{4\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{a\sqrt{1+a^2}}$

$a^3(1+a^2) = 8(a^2+1)$

$a^3 = 8$

$a=2$

3. 最終的な答え

(1) $y = ax - \frac{a^2}{4}$

(2) $\frac{a^2}{4\sqrt{a^2+1}}$

(3) $a = 2$