(1) 関数 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ のグラフの形状を答える。ここで、$a > 0$ は定数とする。 (2) 定積分 $I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$ を計算する。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ のグラフの形状を答える。ここで、$a > 0$ は定数とする。

(2) 定積分 $I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) グラフの形状について:

関数 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ の両辺を2乗すると、

$y^2 = a^2 - x^2$

となり、これを変形すると、

$x^2 + y^2 = a^2$

が得られます。これは中心が原点 $(0, 0)$、半径が $a$ の円の方程式です。ただし、$y = \sqrt{a^2 - x^2}$ なので、$y \geq 0$ である必要があります。したがって、このグラフは、中心が原点、半径が $a$ の円の上半分を表します。

(2) 定積分の計算について:

$I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$

この積分は、$y = \sqrt{a^2 - x^2}$ のグラフ（半径 $a$ の半円）の $x$ が $0$ から $a$ までの領域の面積を表しています。これは円の面積の4分の1に相当します。

円の面積は $\pi a^2$ なので、その4分の1は $\frac{1}{4} \pi a^2$ となります。

したがって、

$I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{\pi a^2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) グラフの形状: 中心が原点、半径が $a$ の半円 (上半分)

(2) 定積分の値: $\frac{\pi a^2}{4}$