定数 $a>0$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) 関数 $y=\sqrt{a^2-x^2}$ のグラフの形状を求める。 (2) 定積分 $I=\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx$ の値を求める。 (3) 定数 $a, b, c$ が与えられ、$a>0$ のとき、定積分 $J=\int_0^a (bx+c)\sqrt{a^2-x^2} dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a>0$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) 関数 $y=\sqrt{a^2-x^2}$ のグラフの形状を求める。

(2) 定積分 $I=\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx$ の値を求める。

(3) 定数 $a, b, c$ が与えられ、$a>0$ のとき、定積分 $J=\int_0^a (bx+c)\sqrt{a^2-x^2} dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y=\sqrt{a^2-x^2}$ の両辺を2乗すると、$y^2 = a^2 - x^2$ となる。これは、$x^2 + y^2 = a^2$ を表し、中心が原点、半径が $a$ の円の方程式である。ただし、$y \ge 0$ であるから、$y=\sqrt{a^2-x^2}$ のグラフは、上半円である。

(2) 定積分 $I=\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx$ は、(1)で求めた上半円の $x=0$ から $x=a$ までの部分の面積を表す。これは半径 $a$ の円の面積の1/4に相当する。したがって、

$I = \frac{1}{4}\pi a^2$ となる。

(3) 定積分 $J=\int_0^a (bx+c)\sqrt{a^2-x^2} dx$ を計算する。

$J = \int_0^a bx\sqrt{a^2-x^2} dx + \int_0^a c\sqrt{a^2-x^2} dx$

第1項を $J_1$、第2項を $J_2$ とすると、$J = J_1 + J_2$ である。

$J_1 = \int_0^a bx\sqrt{a^2-x^2} dx$ において、$u = a^2 - x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ より、$xdx = -\frac{1}{2}du$ となる。

$x=0$ のとき $u = a^2$、$x=a$ のとき $u=0$ であるから、

$J_1 = \int_{a^2}^0 b\sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = \frac{b}{2} \int_0^{a^2} \sqrt{u} du = \frac{b}{2} [\frac{2}{3}u^{3/2}]_0^{a^2} = \frac{b}{2} \cdot \frac{2}{3} a^3 = \frac{ba^3}{3}$

$J_2 = \int_0^a c\sqrt{a^2-x^2} dx = c\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx = cI = c \cdot \frac{1}{4} \pi a^2 = \frac{c\pi a^2}{4}$

したがって、$J = J_1 + J_2 = \frac{ba^3}{3} + \frac{c\pi a^2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ のグラフは、中心が原点、半径が $a$ の上半円である。

(2) $I = \frac{\pi a^2}{4}$

(3) $J = \frac{ba^3}{3} + \frac{c\pi a^2}{4}$