次の関数 $f(x)$ と区間 $I$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求めよ。 (1) $f(x) = (x-1)(x-3)$, $I = [1, 3]$ (2) $f(x) = (x-a)(b-x)$, $I = [a, b]$ (3) $f(x) = x(x-2)^2$, $I = [0, 2]$ (4) $f(x) = \sqrt{x}(1-x)$, $I = [0, 1]$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ と区間 $I$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求めよ。

(1) $f(x) = (x-1)(x-3)$, $I = [1, 3]$

(2) $f(x) = (x-a)(b-x)$, $I = [a, b]$

(3) $f(x) = x(x-2)^2$, $I = [0, 2]$

(4) $f(x) = \sqrt{x}(1-x)$, $I = [0, 1]$

2. 解き方の手順

ロールの定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であり、$f(a) = f(b)$ であるとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ に少なくとも一つ存在するというものです。

(1) $f(x) = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$, $I = [1, 3]$

$f(1) = (1-1)(1-3) = 0$

$f(3) = (3-1)(3-3) = 0$

$f(1) = f(3)$ が成立します。

$f'(x) = 2x - 4$

$f'(c) = 2c - 4 = 0$

$2c = 4$

$c = 2$

$1 < 2 < 3$ より、$c = 2$ は区間 $(1, 3)$ に含まれます。

(2) $f(x) = (x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$, $I = [a, b]$

$f(a) = (a-a)(b-a) = 0$

$f(b) = (b-a)(b-b) = 0$

$f(a) = f(b)$ が成立します。

$f'(x) = -2x + (a+b)$

$f'(c) = -2c + (a+b) = 0$

$2c = a+b$

$c = \frac{a+b}{2}$

$a < \frac{a+b}{2} < b$ より、$c = \frac{a+b}{2}$ は区間 $(a, b)$ に含まれます。

(3) $f(x) = x(x-2)^2 = x(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x$, $I = [0, 2]$

$f(0) = 0(0-2)^2 = 0$

$f(2) = 2(2-2)^2 = 0$

$f(0) = f(2)$ が成立します。

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$

$f'(c) = 3c^2 - 8c + 4 = 0$

$(3c - 2)(c - 2) = 0$

$c = \frac{2}{3}, 2$

$0 < \frac{2}{3} < 2$ なので、$c = \frac{2}{3}$ は区間 $(0, 2)$ に含まれます。

$c = 2$ は区間 $(0, 2)$ に含まれません。したがって、$c = \frac{2}{3}$

(4) $f(x) = \sqrt{x}(1-x) = \sqrt{x} - x\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}$, $I = [0, 1]$

$f(0) = \sqrt{0}(1-0) = 0$

$f(1) = \sqrt{1}(1-1) = 0$

$f(0) = f(1)$ が成立します。

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}}$

$f'(c) = \frac{1 - 3c}{2\sqrt{c}} = 0$

$1 - 3c = 0$

$3c = 1$

$c = \frac{1}{3}$

$0 < \frac{1}{3} < 1$ より、$c = \frac{1}{3}$ は区間 $(0, 1)$ に含まれます。

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(2) $c = \frac{a+b}{2}$

(3) $c = \frac{2}{3}$

(4) $c = \frac{1}{3}$