$\int \sqrt{t} dt$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{t} dt$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{t}$を$t^{\frac{1}{2}}$と書き換えます。

$\int t^{\frac{1}{2}} dt$

次に、べきの積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を適用します。

この場合、$n = \frac{1}{2}$ なので、$n+1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ となります。

したがって、

$\int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{1}{\frac{3}{2}}$ は $\frac{2}{3}$ と等しいので、

$\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

$t^{\frac{3}{2}}$は$t\sqrt{t}$ と等しいので、

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} t\sqrt{t} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} t\sqrt{t} + C$